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Stage 4 · Algebra

10 problems · AMC 12 late, AIME early · mathsolympiadprep.com

The answer key prints on its own page at the end.

Given the function $f(x) = 2\sin{x}\cos{x} - 2\sin^2{x} + 1$ $($ for $x \in \mathbb{R}$ $)$ , in a triangle $ABC$ where the sides opposite to angles $A$ , $B$ , and $C$ are $a$ , $b$ , and $c$ respectively, $a= \sqrt{3}$ , angle $A$ is acute, and $f\left(A+ \frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ . Determine the maximum area of $\triangle ABC$ .

Algebra Solution and answer checking →
How many distinct real solutions does the equation $x^{6}+2 x^{5}+2 x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}+2 x+1=0$ have?
1. A0
2. B1
3. C2
4. D4
5. E6
Algebra Solution and answer checking →
Let $x \in \left[-\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{3}\right]$ . Then the maximum value of
$y = \tan\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) - \tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$
is:
1. A $\frac{12}{5}\sqrt{2}$
2. B $\frac{11}{6}\sqrt{2}$
3. C $\frac{11}{6}\sqrt{3}$
4. D $\frac{12}{5}\sqrt{3}$
Algebra Solution and answer checking →
If $x+y+z=25$ and $y+z=14$ , then $x$ is
1. A8
2. B11
3. C6
4. D-6
5. E31
Algebra Solution and answer checking →
The graph of the parabola $y=x^{2}+x+p(p \neq 0)$ intersects the $x$ -axis at one point with the $x$ -coordinate $p$ . Then, the coordinates of the vertex of the parabola are:
1. A $(0,-2)$
2. B $\left(\frac{1}{2},-\frac{9}{4}\right)$
3. C $\left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$
4. D $\left(-\frac{1}{2},-\frac{9}{4}\right)$
Algebra Solution and answer checking →
What is the total sum of the numbers 1966, 1976, 1986, 1996, and 2006?

Algebra Solution and answer checking →
Given $f(x)=3 x^{2}-x+4$ , $f(g(x))=3 x^{4}+18 x^{3}+50 x^{2}+69 x+48$ .
Then, the sum of the coefficients of the integer polynomial function $g(x)$ is $(\quad$ .
1. A8
2. B9
3. C10
4. D11
Algebra Solution and answer checking →
The number 6 in the figure corresponds to ( ).
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Algebra Solution and answer checking →
Given the sets $P=\left\{x \mid x^{2}=1\right\}$ and $Q=\{x \mid m x=1\}$ . If $Q \subset P$ , then the number of possible values for the real number $m$ is:
1. A0
2. B1
3. C2
4. D3
Algebra Solution and answer checking →
Set
$A=\{1,3,5,7\}, B=\{2,4,6,8,20\} \text {. }$
If $C=\{s \mid s=a+b, a \in A, b \in B\}$ , then the number of elements in set $C$ is:
1. A9
2. B11
3. C13
4. D20
Algebra Solution and answer checking →

Answer key — Stage 4 · Algebra

Worked solutions for every problem are on the site, one page per problem.

$A: \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{4}$ open
$B$ open
$C$ open
$11$ open
$D$ open
$9930$ open
$A$ open
$数字6$ open
$D$ open
$B$ open

Problems belong to the competitions that set them and are reproduced from open datasets under their licences; every problem page names its source. Free to copy for classroom use.