Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /4 of 145

Geometry Difficulty 4.9 AIME Prove it Russia

Given an isosceles right-angled triangle $ABC$ . Point $K$ is a midpoint of hypotenuse $AB$ . Points $L$ and $M$ are chosen on sides $BC$ and $AC$ respectively so that $BL = CM$ . Prove that the triangle $LMK$ is also isosceles and right-angled. (R. Zhenodarov)

Solution

Медиана $CK$ треугольника $ABC$ является также высотой и биссектрисой, так как треугольник равнобедренный. Поэтому $\angle KBC = \angle KCB = \angle KCA = 45^\circ$ . Отсюда $KC = KB$ , и, значит, треугольники $KBL$ и $KCM$ равны по двум сторонам ( $KC = KB$ , $BL = CM$ ) и углу между ними. Поэтому $KL = KM$ , и из равенства $\angle BKL = \angle CKM$ следует $\angle LKM = \angle LKC + \angle CKM = \angle LKC + \angle BKL = \angle BKC = 90^\circ$ . Значит, треугольник $LMK$ — прямоугольный равнобедренный.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.